Kernestof – skarpt og synligt 

Hvad er matematik? 1 er første bog på B-niveau og på A-niveau og er samtidig en fuldt dækkende grundbog for C-niveau. Bogen er skræddersyet til de faglige mål, det faglige indhold og de krav til tilrettelæggelse af undervisningen, som er formuleret i læreplanerne fra 2017. Ud over Hvad er matematik? 1 kommer den nye udgave af serien således til at bestå af Hvad er matematik? 2 og Hvad er matematik? 3 samt tilhørende opgavebøger. 

I den nye udgave af Hvad er matematik? har vi valgt at foretage en skarpere og umiddelbart synlig opdeling mellem på den ene side det egentlige pensum, beskrevet i læreplanens afsnit om fagligt indhold og faglige mål, og på den anden side de mange tilbud om ekstramaterialer. Ud over en gennemgående revidering er der tre nye kapitler, der dækker de nye emner i læreplanen: annuitetsregning, vektorregning og sandsynlighedsregning samt et nyt kapitel om familier af funktioner, hvor eleverne udforsker og fordyber sig i funktionsbegrebet. 

Hvert kapitel indledes med en fortælling om begivenheder, hvor matematikken har været afgørende for at forstå fænomener fra natur og samfund, eller hvor matematik er bragt i spil for at løse bestemte praktiske problemer. Viden om matematikkens udvikling og om matematikanvendelser er i læreplanen kun beskrevet i overordnede termer, og denne del af pensum vil man kunne dække ved blot at vælge enkelte af disse fortællinger. 

Emnerne i den resterende del af bogen, dvs. alle kapitlernes afsnit 2 og frem, er pensum. Til alle emner er der gennemregnede eksempler og en række øvelser. Til alle emner er der også øvelser med tilbud om eksperimenterende forløb, når nye begreber, metoder eller funktioner introduceres. Bogen rummer betydeligt flere øvelser, end man normalt vil inddrage i undervisningen, så man må foretage et valg, fx: Hvilke dele af pensum synes man selv er bedst egnet til eksperimenterende forløb? 

Det er ikke fastlagt i læreplanen, hvilke dele af den matematiske teori der skal gennemgås udførligt, og hvilke sætninger der skal bevises, kun at dette skal ske for udvalgte dele af pensum. Vi har i bogen foretaget et sådant udvalg. Man kunne foretage et andet valg, og alle øvrige beviser findes på bogens website: lru.dk/hvadermatematik.  

Ekstramateriale og supplerende stof 
Som de tidligere udgaver i lærebogssystemet Hvad er matematik? indeholder denne nye udgave en rigdom af ekstramaterialer, der ligger på bogens website, og som stilles frit til rådighed: 
• Mere end 80 projekter, der kan supplere eller direkte erstatte dele af et emne, eller som kan danne grundlag for problemstillinger til den mundtlige gruppedelprøve på C- og B-niveau. 
• 4 ekstra studieretningskapitler med oplæg til fagligt samarbejde mellem matematik og fysik, matematik og kemi, matematik og biologi/bioteknologi og matematik og samfundsfag. 
• Et særligt kapitel med oplæg til fagligt samarbejde mellem matematik og kulturfag. 
• Mere end 50 forskellige kildematerialer og autentiske data fra så forskellige begivenheder som boringen af tunellen under Storebælt i 1990’erne, kortlægningen af Sjælland i 1700-tallet, bestemmelse af lysets hastighed i 1880’erne, Eiffels brokonstruktioner eller aktuelle begivenheder som Copenhagen Marathon. 
• Desuden findes der på websitet en facitliste til alle bogens øvelser. 

Materialerne på bogens website er ikke umiddelbart pensum. Men man kan ofte vælge at inddrage et materiale fra websitet til et forløb om matematikkens anvendelser, til et matematikhistorisk forløb eller til projektorienterede forløb, som erstatning for traditionel undervisning i et bestemt emne. Derved kommer det til at indgå som supplerende stof i det pågældende holds pensum. Eller man kan anvende en del af materialerne som udgangspunkt for konstruktion af de problemstillinger, der skal anvendes ved den mundtlige gruppe delprøve på C- og B-niveau. 

Brugervenlighed med QR-koder 
Overalt i bogen er der indsat QR-koder med links til projekter, studieretningskapitler, vejledninger til værktøjsprogrammer og andre ekstramaterialer, hvor det kan være naturligt at inddrage disse. Det øger brugervenligheden betydeligt, at læreren og eleverne i forberedelsen til eller gennemgang af et nyt emne let kan orientere sig i disse ekstra tilbud. I en repetitionsfase vil eleverne selv kunne finde relevant ekstramateriale, eksempelvis til fordybelse i den matematiske teori. 

Hvert kapitel slutter med en samlet oversigt over de projekter, der hører til det pågældende kapitel. 
Definitioner og sætninger er placeret i særlige bokse, så de er lette at finde, og de har alle fået en titel eller et navn, så man hurtigt kan se, hvilket begreb det drejer sig om. 
Notation, regler og god skik er fremhævet på linje med sætninger og definitioner i særlige bokse under overskriften: Praxis. Disse bokse har alle fået en titel eller et navn, så man hurtigt kan se, hvilket begreb det drejer sig om. 

Ligeledes har alle eksempler, samt alle de øvelser, der handler om noget og ikke blot er træningsøvelser, fået en overskrift, så man hurtigt kan orientere sig i et afsnit. 
Bogen er forsynet med et omfattende stikordsregister, der også omfatter studieretningskapitlerne, projekterne og alt andet ekstra materiale. e-bogen har yderligere en effektiv søgemaskine. 

Hjælp til lektielæsning og til repetitionsfasen 
Til alle kapitler er der udarbejdet kontrolspørgsmål under overskriften: "Begreber, sætninger og formler du skal kende fra kapitel X". Disse spørgsmål er lagt ind i opgavebogen til Hvad er matematik? 1 som et afsnit X.0 i hvert kapitel. 

Eleverne kan med spørgsmålene selv evaluere, om de har styr på det faglige emne. Lærerne kan pege de relevante spørgsmål ud for eleverne, når der gives lektier for. I en repetitionsfase kan eleverne med brug af disse spørgsmål selv arbejde stoffet igennem. Alle opgaver i afsnit X.0 kan besvares ved opslag i grundbogens kapitel X. 
Der ligger også spørgsmål til alle de indledende fortællinger i grundbogens kapitler. Alle hold skal arbejde med historiske og anvendelsesorienterede emner, men der er frit valg. Derfor er der lagt spørgsmål ind til alle afsnit. 

Papirbog, e-bog og opgavebog 
Hvad er matematik? 1 findes som papirbog og som e-bog. De to versioner er fuldstændigt identiske mht. sidetal og opsætning, og de kan således umiddelbart anvendes sammen. Arbejder man med den trykte udgave, skal man anvende en app, der kan læse QR-koder. I e-bogen er disse links aktive. Alt ekstramateriale kan let tilgås samlet på bogens website, som også indeholder en overskuelig materialefortegnelse, så det er let at finde bestemte materialer. 

Til grundbogen er der også udarbejdet en opgavebog, hvor der for alle kapitler er markeret mindstekravsopgaver. Hvad er matematik? 1 Opgavebog er både tilgængelig som papirbog og i webformat. Hvis man anskaffer grundbogen som e-bog, følger opgavebogen med, og der er i e-bogen af Hvad er matematik? 1 direkte links til opgavebogens relevante afsnit. 
Vores ambition med lærebogssystemet Hvad er matematik? 

Matematik er både et meget gammelt og et meget moderne fag. Matematik har spillet en central rolle i alle civilisationer og gennem hele kulturhistoriens udvikling. I dag er det tilmed et uundværligt redskabsfag for en lang række andre fag. Det har været vores ambition at gøre dette til det inspirerende udgangspunkt for lærebogssystemet og dermed for gymnasiets matematikundervisning. Gennem et selvstændigt arbejde med ægte problemer og modellering af autentiske data skal eleverne opleve faget som et levende og uundværligt fag, et fag, der bliver stadig mere spændende for hvert nyt rum, der åbnes. 
På bogens website ligger oplæg til, hvordan man kan udmønte bogens materialer i undervisningsplaner for hold på forskellige niveauer. 

Siden vi startede arbejdet med dette nye lærebogssystem, har vi desværre mistet vores nære ven og altid inspirerende deltager i vores arbejdsfællesskab, Bjørn Felsager. Hans aftryk findes i mange af bøgernes materialer. 
Bjørn Grøn, Bodil Bruun, Olav Lyndrup 

• Hvad er matematik? 1
• Indholdsfortegnelse
• Forord
• 0. Hvad er matematik?
  • 1. Kan vi bevise det? Om vinkelsummer i trekanter
  • 2. Kan vi generalisere? Om parallelaksiomet, Flatland og polygoner
  • 3. Matematikkens skønhed. Om de regulære polyedre
  • 4. Projekter
• 1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner
  • 1. Grænser for vækst
  • 2. Variable
  • 3. Uafhængig og afhængig variabel
    • 3.1 Betegnelsen f(x)
  • 4. Koordinatsystemet
    • 4.1 Koordinatsystemet – en genial ide
    • 4.2 Koordinatsystemets indretning
  • 5. De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge
    • 5.1 Tabelform
    • 5.2 Grafisk form
    • 5.3 Sproglig form
    • 5.4 Formeludtryk
  • 6. Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge
    • 6.1 Tabeller og grafer – at indsamle data og at skaffe sig overblik
    • 6.2 Sprog og formler – at opstille og at tolke formler
    • 6.3 Grafer og sprog – at beskrive og at skitsere grafer
    • 6.4 Formler og grafer – at tegne grafer og at bestemme en regneforskrift
  • 7. Lineær regression
    • 7.1 Residualplot
  • 8. Lineære funktioner f(x) = ax + b
    • 8.1 Grafen for lineære funktioner
    • 8.2 Regneforskrift for den lineære funktion
  • 9. Ligninger, kurver og funktioner
  • 10. Projekter
• 2. Beskrivende statistik
  • 1. I krig med statistikken som våben: Florence Nightingale
  • 2. Numeriske variable – beskrivelse af et datamateriale
    • 2.1 Grafisk præsentation af et numerisk datamateriale – prikdiagram
    • 2.2 Sproglig præsentation af niveauet for et datasæt – median og middeltal
    • 2.3 Sproglig præsentation af spredningen for et datasæt – variationsbredde og kvartilbredde
    • 2.4 Grafisk præsentation af et numerisk datamateriale – boksplot
    • 2.5 Sproglig præsentation af formen for en fordeling – symmetri og outliers
    • 2.6 Anvendelse af boksplot til sammenligning af datasæt
  • 3. Numeriske variable – beskrivelse af store datasæt
    • 3.1 Grafisk præsentation af grupperede datasæt – histogram
    • 3.2 Skøn over middeltal for grupperede datasæt
    • 3.3 Grafisk præsentation af grupperede datasæt – sumkurve
    • 3.4 Skøn over median og kvartiler for grupperede datasæt
  • 4. Kategoriske variable
    • 4.1 Titanics forlis
    • 4.2 Tabelpræsentation af et kategorisk datasæt – antalstabeller
    • 4.3 Grafisk præsentation af et kategorisk datasæt – cirkel- og søjlediagrammer
  • 5. Projekter
• 3. Procent og rentesregning
  • 1. Tunnelen under Storebælt
    • 1.1 Tidligere planer for en fast forbindelse
    • 1.2 Storebæltsforbindelsens tekniske data
    • 1.3 Geologiske forhold ved boringen
    • 1.4 Sten i moræneleret under Storebælt
    • 1.5 En matematisk modellering ud fra rå data
  • 2. Procentregning og kapitalfremskrivning
    • 2.1 Sådan regnes med procenter og indekstal
    • 2.2 Eksempler på anvendelse af formlen K = K0 · (1 + r)n
    • 2.3 Sådan regnes med logaritmer
  • 3. Potenser og potensregneregler
    • 3.1 Udvidelse af potensbegrebet
  • 4. Summer af potensrækker
    • 4.1 Uendelige summer
  • 5. Opsparingsannuitet
  • 6. Gældsannuitet
  • 7. Amortisationstabeller
  • 8. Anlægsøkonomien i etableringen af den faste forbindelse over Storebælt
  • 9. Projekter
• 4. Eksponentielle vækstmodeller
  • 1. Darwins evolutionsteori
  • 2. Eksponentialfunktionerne f(x) = b · ax og deres grafer
    • 2.1 Eksponentialfunktioners regneforskrift
    • 2.2 Eksponentialfunktioners grafer
    • 2.3 Sproglig form – at opstille og at tolke eksponentielle sammenhænge
  • 3. Eksponentiel regression –fra tabel til graf og formel
  • 4. Udregning af regneforskrift ud fra to punkter
  • 5. Fordoblings- og halveringskonstanter
    • 5.1 Jordens alder og opdagelsen af radioaktivitet
    • 5.2 Beregning og anvendelse af fordoblings og halveringskonstanter
  • 6. Projekter
• 5. Potensmodeller
  • 1. Det naturvidenskabelige gennembrud –matematikken kommer i spil
  • 2. Potensfunktionerne f(x) = b · xa og deres grafer
    • 2.1 Potensfunktionernes regneforskrift
    • 2.2 Potensfunktionernes grafer
  • 3. Potensregression – fra tabel til graf og formel
  • 4. Hvad er karakteristisk for potenssammenhænge?
    • 4.1 Skalering – eller: Hvorfor findes der ikke kæmper?
    • 4.2 Procent-procentvækst
  • 5. Udregning af regneforskrift ud fra to punkter
  • 6. Projekter
• 6. Vektorer og trigonometri
  • 1. Hvor kommer vektorerne fra?
    • 1.1 Danmarks kortlægning – de store matematikere som landmålere
    • 1.2 Caspar Wessel og de komplekse tal
    • 1.3 Vektorbegrebet graves ud af firedimensionelle tal
  • 2. Hvad er en vektor?
    • 2.1 Repræsentanter for en vektor
    • 2.2 Regning med geometriske vektorer
  • 3. Vektorer i et koordinatsystem
    • 3.1 Vektorer beskrevet med koordinater
    • 3.2 Regning med koordinatvektorer
      • Forbindelsesvektorer og deres koordinater
      • Vektorernes beskrivelseskraft
  • 4. Pythagoras' sætning og længden af en vektor
    • 4.1 Længden af en vektor
  • 5. Ensvinklede trekanter og skalering
  • 6. Trigonometriske beregninger
    • 6.1 Enhedscirklen – definitionen af cosinus, sinus og tangens
    • 6.2 De trigonometriske formler i den retvinklede trekant
  • 7. Skalarprodukt af vektorer
    • 7.1 Skalarprodukt i koordinater
    • 7.2 Skalarprodukt og vinkler
    • 7.3 Cosinusrelationerne
  • 8. Projektioner
    • 8.1 Projektion af vektor på vektor
  • 9. Tværvektor
  • 10. Determinanter, arealberegning og sinusrelationerne
    • 10.1 De 5 trekantstilfælde og sinusrelationerne
  • 11. Projekter
• 7. Det matematiske sprog – tal og ligninger
  • 1. Tal
    • 1.1 Tal og talord
    • 1.2 Talsans
    • 1.3 Talsymboler – om at skrive tal
    • 1.4 Positionstalsystemer
    • 1.5 Udvidelse af talbegrebet – nul, negative tal, brøker
  • 2. Regning med tal
    • 2.1 Sådan regnes med tal og med parenteser
    • 2.2 Brøker og decimaltal, eksakt og tilnærmet
    • 2.3 Sådan regnes med brøker
    • 2.4 Eksponentiel notation - sådan skrives store tal og små tal
  • 3. Talmængderne (især for A-niveau)
  • 4. Ligninger
    • 4.1 Formler – naturligt sprog og symbolsprog
    • 4.2 Regler for løsning af ligninger – omvendte operationer
    • 4.3 Grafisk løsning og formelregning
    • 5. Projekter
• 8. Familier af funktioner
  • 1. Brokonstruktioner
    • 1.1 Kædelinjer og de hyperbolske funktioner
  • 2. Funktioners egenskaber og deres grafiske forløb
    • 2.1 Definitionsmængde og værdimængde
    • 2.2 Maksimum og minimum
    • 2.3 Monotoniforhold – voksende og aftagende funktion
    • 2.4 Omvendt funktion – omvendt operation
    • 2.5 Asymptoter
  • 3. Parametriserede funktioner
    • 3.1 Forskudt eksponentiel vækst: f(x) = M – b ⋅ ax
    • 3.2 Forskudt potensvækst: f(x) = b ⋅ (x – c)2, g(x) = b ⋅ x – c og h(x) = b/x – c
    • 3.3 Andengradspolynomier: p(x) = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c
  • 4. En verden af funktioner
  • 5. Projekter
• 9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik
  • 1. Testet positiv – men er du syg?
  • 2. Regning med sandsynligheder
    • 2.1 Stokastiske eksperimenter og udfaldsrum
    • 2.2 Symmetriske sandsynlighedsfelter og stokastiske variable
    • 2.3. De store tals lov
  • 3. Kombinatorik – tællemetoder
    • 3.1 Permutationer og binomialkoefficienter
  • 4.Projekter
• Register