Denne bog præsenterer den første del af matematikken på den gymnasiale uddannelse

htx. Den kan bruges til første halvdel af undervisningen på B-niveau eller første

tredjedel af undervisningen på A-niveau.

Matematik i opslag

Sideopslagene indledes med en kort case, der introducerer det nye område med fokus

på anvendelser, og indeholder teori, eksempler og øvelser. Der er facitliste til alle

øvelser bagerst i bogen.

I mere end 100 screencasts uddybes forklaringerne til begreber, eksempler, formler,

sætninger og beviser. En stjerne (*) markerer, at beviset for en sætning er placeret i

afsnittet 'Ræsonnementer og beviser'.

Efter hvert kapitel er der opgaver, der følger kapitlets og bogens progression.

Mellem alle kapitler er der træningssider med små opgaver om regneoperationer,

regnearternes hierarki, brøkregning og parentesregneregler mv.

At forstå matematik

Alt, hvad man forsøger at lære, bliver forstået ved, at hjernen kobler det nye stof til de

begreber, den allerede kender. Forståelse er knyttet til hjernens netværk af nerveceller.

Hjernen har 125 milliarder nerveceller, der hver er forbundet til 10 000 andre. Når man

forstår noget, er der skabt forbindelser mellem hjernecellerne. Hjernen danner disse

forbindelser helt ubemærket, mens man kæmper med at bruge det nye begreb på alle

mulige måder, tænker over det, prøver det af i alle mulige forbindelser og situationer

og tager noter, laver et minilex, regner øvelser og opgaver, forklarer ting til andre i

små oplæg eller snakker om begreber og opgaver.

To typer forståelse

Lad os se på de to grundlæggende typer forståelse instrumentel forståelse og relationel

forståelse.

Instrumentel forståelse er en forståelse, hvor man (kun) ved, hvad man skal gøre for at

løse en given problemstilling, men ikke rigtigt, hvorfor det virker. Den indledende forståelse

af et nyt emne/matematisk område vil ofte være instrumentel. Forståelsen er

ikke særlig dyb, fordi det nye stof (endnu) ikke er koblet til så mange andre begreber.

Man genkender måske x + 2 = 3 som "en ligning", men er usikker på, hvad en ligning

egentlig er. Man tænker, at nu skal man det der med at "trække over på den anden

side", og tager så 2-tallet og flytter over på den anden side, og skifter fortegn – sådan

er reglen jo.

Og der skrives fx:

x + 2 = 3, derefter: x = –2 + 3, derefter: x = 1

Relationel forståelse er en forståelse, hvor man har fundet ud af, hvordan ting hænger

sammen.

Fx at x + 2 = 3 udtrykker en balance mellem to talstørrelser. Man ved nu, at det der

med at "trække over på den anden side" er rent vrøvl!

Det, der sker, er i virkeligheden, at man trækker 2 fra på begge sider, fordi man derved

ikke forstyrrer balancen, samtidigt med at man får isoleret x på den ene side. Man

skriver måske nøjagtigt det samme ned på papiret, som man gjorde tidligere, men

nu med en dybere forståelse. Man ville nu kunne argumentere for metoden, hvis man

blev spurgt.

Gå efter den relationelle forståelse

Der er mange fordele ved at opbygge en relationel forståelse af matematik. Blandt

andet er det smart at kunne forklare andre (en kammerat, en lærer – eller en censor ...),

hvordan en bestemt metode virker.

Den største fordel er dog, at en relationel forståelse gør det lettere at koble nye begreber

på netværket – og dermed lettere at lære nyt stof. Gamle og nye elementer kan så

indgå i en sammenhæng, der giver mening.

Hvilken bogstavrække tror du for eksempel, du bedst vil kunne huske?

• "aekljtgjkltvtbtwertbrt"

• "prøvathuskedetteher"

Den effektive måde at skabe stærke forbindelser mellem begreber er ved aktivitet. Så

man skal spørge, svare, forklare, regne, tegne og bruge masser af krussedullepapir,

hvor tankerne flyder, mens man skriver og tegner, hvad man mener, opgaven går ud

på. Krussedullepapiret smides ud, når man har forstået det, man skulle. Krussedullepapiret

er et frirum, hvor man kan udtrykke sig mere kreativt end på computeren,

og man kan med fordel tænke i at have begge dele klar, når der skal arbejdes med

matematikken.

Nye begreber sidder ikke ordentlig fast, hvis du kun lytter eller læser. Du skal være i

målrettet aktivitet.

God fornøjelse med bogen.

Henrik og Per

• Kernestof Mat 1 htx
• Indhold
• Forord
• 1. Modeller og variable
  • 1.1 Modeller med én variabel
  • 1.2 Ligninger og deres løsninger
  • 1.3 Overslagsregning og principskitser
  • 1.4 Modeller med to variable
  • Opgaver til kapitel 1
  • Træningssider 1
• 2. Lineære funktioner
  • 2.1 Lineær vækst
  • 2.2 Beregning a og b
  • 2.3 Lineære modeller
  • 2.4 Lineær regression
  • 2.5 Stykkevist lineære funktioner, definitionsmængde og værdimængde
  • 2.6 Ræsonnementer og beviser
  • Opgaver til kapitel 2
  • Træningssider 2
• 3. Trigonometri
  • 3.1 Navne og almindelige begreber
  • 3.2 Pythagoras' sætning og ligedannede trekanter
  • 3.3 Konstruktion – de fem trekantstilfælde
  • 3.4 Enhedscirklen
  • 3.5 Cosinus og sinus i retvinklede trekanter
  • 3.6 Areal af vilkårlig trekant og sinusrelationerne
  • 3.7 Cosinusrelationerne
  • 3.8 Ræsonnementer og beviser 1
  • 3.9 Ræsonnementer og beviser 2
  • Opgaver til kapitel 3
  • Træningssider 3
• 4. Statistik
  • 4.1 Ikke-grupperede observationer
  • 4.2 Diagrammer og kvartilsæt
  • 4.3 Boksplot og spredning
  • 4.4 Grupperede observationer
  • 4.5 Diagrammer for grupperede observationer
  • Opgaver til kapitel 4
  • Træningssider 4
• 5. Eksponentielle funktioner
  • 5.1 Procent og fremskrivningsfaktor
  • 5.2 Eksponentiel vækst
  • 5.3 Beregning af a og b
  • 5.4 Halverings- og fordoblingskonstant
  • 5.5 Eksponentielle vækstmodeller
  • 5.6 Logaritmefunktioner
  • 5.7 Logaritmer og eksponentielle ligninger
  • 5.8 Ræsonnementer og beviser
  • Opgaver til kapitel 6
  • Træningssider 5
• 6. Proportionalitet
  • 6.1 Ligefrem proportionalitet
  • 6.2 Omvendt proportionalitet
  • Opgaver til kapitel 6
  • Træningssider 6
• 7. Potensfunktioner
  • 7.1 Forskrift og graf
  • 7.2 Beregning af a og b i forskriften f(x) = b · xa
  • 7.3 Potensregression og modeller
  • 7.4 Vækst i procent for både x og y
  • 7.5 Ræsonnementer og beviser - egenskaber ved potensfunktionen f(x) = b · xa
  • Opgaver til kapitel 7
  • Træningssider 7
• 8. Cirkler og polygoner
  • 8.1 Cirkler og længder
  • 8.2 Cirkler og arealer
  • 8.3 Polygoner
  • 8.4 Ræsonnementer og beviser
  • Opgaver til kapitel 8
• Facitliste
• Register